第3章 哈密顿力学

以广义坐标和广义动量作为动力学状态变量的力学表述称为哈密顿表述。力学中的哈密顿表述与拉格朗日表述是等价的；然而，每一种表述都提供了一种有用的视角。拉格朗日表述在系统的初始表述阶段特别有用。哈密顿表述在理解演化过程方面特别有用，尤其是当存在对称性和守恒量时。

力学系统的每一个连续对称性都对应一个守恒量。如果广义坐标的选择能够反映某种对称性，那么根据拉格朗日方程，共轭动量是守恒的。我们已经看到，这样的守恒量使我们能够推导出运动的重要性质。例如，对能量和角动量的考虑使我们能够推断出，自由刚体绕中间惯量主轴的旋转是不稳定的，而绕其他主轴的旋转是稳定的。对于轴对称陀螺，我们利用两个守恒动量重新表述了控制倾斜角演化的方程，使其仅涉及倾斜角及其导数。倾斜角的演化可以独立确定，并且具有简单的周期解。对守恒动量的考虑提供了关键性的洞察。哈密顿表述的动机正是希望将注意力集中在动量上。

在拉格朗日表述中，动量在某种意义上是从属量：动量是状态空间变量的函数，但状态空间变量的演化依赖于状态空间变量本身，而不依赖于动量。要利用任何守恒动量，都需要对具体方程进行处理。动量可以用坐标和速度重新表示，因此在局部上，我们可以用坐标和动量反解出速度。对于给定的力学系统以及描述其在给定坐标系中动力学的拉格朗日函数，动量和速度可以相互推导。因此，我们可以用坐标和动量来表示系统的动力学状态，就像用坐标和速度来表示一样。如果我们用坐标和动量来表示状态，并将相应的状态导数用坐标和动量写出，那么我们就得到了一个自洽的系统。这种表述系统演化方程的优势在于：如果某些动量是守恒的，那么剩余方程将立即得到简化。

力学的拉格朗日表述为我们提供了研究复杂力学系统运动的手段。我们已经发现，动力系统表现出纷繁复杂的各种可能运动。运动有时相当简单，有时非常复杂。有时演化对初始条件非常敏感，有时则不然。有时还存在与驱动保持共振关系的轨道。考虑周期驱动的摆：它可以表现得或多或少像一个带有额外摆动的无驱动摆，也可以以强混沌的方式运动，或者与驱动发生共振——每两个驱动周期摆动一次，或者每个驱动周期绕转一次。再考虑月球。月球与它的轨道运动同步自转，总是大致以同一面对着地球。然而，水星每绕太阳两圈自转三圈，而海伯利安则混沌地自转。

我们如何理解这一切？我们如何将这些系统的可能运动彼此关联起来？还有哪些其他可能的运动？动力学中的哈密顿表述所给予我们的，远不止是将系统导数用可能守恒的量来表达这一既定目标。哈密顿表述提供了一个便利的框架，使各种可能的运动得以定位和理解。我们将能够看到稳定共振运动的范围、混沌轨迹所到达的状态范围，并发现其他未曾预料到的可能运动。哈密顿表述带来了许多额外的洞察。