第 1 章 拉格朗日力学

本书的主题是运动以及用于描述运动的数学工具。

几个世纪以来，对行星运动的仔细观测揭示了这些运动中的规律性，使得诸如日食和合等现象能够被精确预测。将这些规律性形式化并最终理解它们的努力，导致了数学的发展，并发现数学可以被有效地用于描述物理世界的方方面面。数学能够被用于描述自然现象，这是一个非凡的事实。

杂耍者抛出的棒子沿着相当可预测的路径运动，并以相当可预测的方式旋转。事实上，杂耍的技巧关键地依赖于这种可预测性。同样非凡的发现是，用于描述行星运动的同一种数学工具也可以用于描述杂耍棒的運動。

经典力学描述一个粒子系统在描述其相互作用的力作用下的运动。复杂的物理对象，如杂耍棒，可以被建模为由刚性相互作用力维持固定空间关系的无数粒子。

有许多系统可能发生的运动方式从未实际发生。我们可以想象杂耍棒可能在空中停顿，或者在接住之前绕杂耍者的头转十四圈，但这些运动不会发生。我们如何区分系统实际可能发生的运动和其他可以想象的运动？也许我们可以发明某种数学函数，使得我们能够从所有可以想象的运动中区分出可实现的运动。

系统的运动可以通过给出每一时刻系统中每个部分的位置来描述。这种对系统运动的描述称为构型路径；构型路径将构型指定为时间的函数。杂耍棒在空中飞行时旋转；杂耍棒的构型通过给出棒的位置和方向来指定。杂耍棒的运动通过给出棒的位置和方向作为时间的函数来指定。

我们寻找的函数以构型路径为输入并产生一些输出。我们希望这个函数在输入为可实现路径时具有某种特征行为。例如，输出可以是一个数，我们可以尝试安排这个数仅在可实现路径上为零。牛顿运动方程就属于这种形式；在每一时刻，牛顿微分方程必须被满足。

然而，有一种提供更多洞察力和更强能力的替代策略：我们可以寻找一个路径区分函数，该函数在可实现路径上取最小值——在附近不可实现的路径上，函数的值比在可实现路径上更高。这就是变分策略：对于每个物理系统，我们发明一个路径区分函数，通过在每个可实现路径上具有平稳点来区分系统的可实现运动。对于大量系统，系统的可实现运动可以用变分原理来表述。

由牛顿及其同时代人发明的力学，用系统中每个粒子的位置、速度和加速度来描述系统的运动。与牛顿力学表述形成对比的是，力学的变分表述用与系统整体运动相关的总量来描述系统的运动。

在牛顿表述中，力通常可以写成系统势能的导数。系统的运动通过考虑各个组成粒子如何响应这些力来确定。牛顿运动方程表述本质上是逐粒子的描述。

在变分表述中，运动方程用动能和势能之差来表述。势能是表征系统中粒子排列方式的一个数；动能是由系统中粒子速度决定的一个数。势能和动能都不依赖于这些位置和速度的具体指定方式。它们的差表征系统整体，不依赖于系统具体描述方式的细节。因此，我们可以自由选择易于处理的描述系统的方式；我们从牛顿表述所固有的逐粒子描述中解放出来。

变分表述相比牛顿表述有许多优点。描述系统状态的那些参数的运动方程，无论这些参数如何选择，都以相同的方式推导：表述方法不依赖于坐标系的选择。如果系统粒子之间存在位置约束，牛顿表述要求我们考虑维持这些约束的力，而在变分表述中，约束可以被构建到坐标中。变分表述揭示了守恒律与对称性之间的关联。变分表述提供了一个框架，将系统的任何特定运动置于系统所有可能运动的背景之中。我们正是由于这些优点而采用变分表述。