1 L 和 2 L 分别表示 L 关于其广义位置参数和广义速度参数的偏导数。49 函数 2 L 将局部元组映射到一个结构，其分量为 L 关于广义速度各个分量的导数。函数 
[q] 将时间映射到局部元组：[q](t) = ( t, q(t), Dq(t), ... )。因此，复合函数 1 L o [q] 和 2 L o [q] 是单变量（时间）的函数。拉格朗日方程断言：在任何时刻，2 L o [q] 的导数等于 1 L o [q]。给定一个拉格朗日量，拉格朗日方程构成一个必须由可实现的路径满足的常微分方程组。50
是一条变分路径，其中函数 是一个可以加到路径 q 上的类似路径的函数，因子 是一个尺度因子。我们定义函数 f 在路径 q 上的变分 
f[q] 为：51
。
一个简单的例子是恒等路径函数的变分：I[q] = q。应用定义，我们发现
I[q] 直接写为 q。另一个例子是返回路径导数的路径函数的变分。我们有
g[q] 写为 Dq。
变分可以用导数来表示。设 g() = f[q + ]，那么
（变分）在以下意义下可交换：
的小倍数加到 q 上所得到的子集也必须是平稳的。因此，对于任意 ，条件 f[q] = 0 意味着函数 f 在路径 q 附近对微小路径变分是平稳的。
练习 1.7
的性质 证明 具有性质 1.23–1.27。
练习 1.8
的实现
a. 假设我们有一个实现依赖于路径的函数的过程 f：对于路径 q 和时间 t，其值为 ((f q) t)。过程 delta 计算变分 ( f)[q](t)，结果为表达式 ((((delta eta)
f) q) t) 的值。请完成 delta 的定义：
(define (((delta eta) f) q) 的性质，对诸如过程 f 实现的简单函数进行验证：
(define (f q)
，即 (t1) = (t2) = 0，的变分为零：
，有 (t1) = (t2) = 0，因此第一项消失。
因此，作用量的变分为零当且仅当
成立。
我们在变分的选择中保留足够的自由度，使得被积函数中乘以 的因子被迫在路径上的每一点处为零。我们通过反证法论证：假设该因子在某个特定时刻非零。那么它在至少一个分量中必然非零。但是，如果我们选择 为一个仅在该时刻邻域内该分量上非零、而其他各处均为零的凸起函数，那么积分将非零。因此我们可以得出结论：花括号中的因子恒为零：53
和 是粒子直角坐标的形式参数，v 和 v 是相应直角速度分量的形式参数。那么55
练习 1.9 拉格朗日方程 推导以下系统的拉格朗日方程，并像谐振子和轨道运动示例中那样展示所有中间步骤。 a. 质量为 m 的粒子在二维势场 V(x, y) = (x2 + y2)/2 + x2 y - y3/3 中运动，其中 x 和 y 是粒子的直角坐标。一个拉格朗日量为 L(t; x, y; vx, vy) = (1/2) m (vx2 + vy2) - V(x, y)。 b. 一个理想平面单摆由一个质量为 m 的摆锤通过一根长度为 l 的无质量杆连接到支点构成，在均匀重力加速度 g 作用下运动。一个拉格朗日量为 L(t,
, 
) = (1/2) m l2 2 + m g l cos 。L 的形式参数为 t、 和 ； 测量单摆杆与铅垂线的夹角， 是杆的角速度。56
c. 质量为 m 的粒子被约束在半径为 R 的球面上运动的一个拉格朗日量为 L(t; , 
; 
, ß) = (1/2) m R2 (2 + (ß sin )2)。角度 是粒子的余纬度， 是经度；余纬度的变化率为 ，经度的变化率为 ß。
练习 1.10 高阶导数拉格朗日量 推导依赖于加速度的拉格朗日量的拉格朗日方程。特别地，证明具有
项的形式为 L(t, q, 
, ) 的拉格朗日量的拉格朗日方程为：57
：58
(define ((Lagrange-equations Lagrangian) q)
( at + a0, bt + b0, ct + c0 ) 检验拉格朗日方程：
(define (test-path t)
2 ) = 0 或 = (k/m)1/2 的那些解。
练习 1.11 使用 Lagrange-equations 过程计算练习 1.9 中拉格朗日量的拉格朗日方程。此外，使用计算机执行 Lagrange-equations 过程中的每一步，并显示中间结果。将这些步骤与你在练习 1.9 的手工推导中展示的步骤联系起来。
练习 1.12 a。编写一个过程，用于计算依赖于加速度的拉格朗日量的拉格朗日方程，如练习 1.10 所示。注意，Gamma 可以接受一个可选参数，该参数给出所需局部元组初始段的长度。默认长度为 3，给出局部元组中直至并包括速度的分量。 b。使用你的过程计算拉格朗日量
的实值函数）与 L o [q]（它是单个实变量 t 的实值函数）。如果我们没有意识到这种记号上的双关，这些方程就无法按所写的形式理解—— L/ 是三个变量的函数，因此我们必须先将参数 q、 视为 t 的函数，然后再对该表达式求 d/dt。类似地， L/ q 是三个变量的函数，我们必须先将其视为 t 的函数，然后才能令其等于 d/dt( L/ )。这些链式法则的隐式应用在进行手工计算时不会造成问题——一旦你理解了这些方程所代表的意义。
51 变分算子 类似于微分算子，它作用于紧随其后的函数： f[q] = ( f)[q]。
52 多参数函数被视为其参数的元组的函数。因此，多参数函数的导数是关于每个参数的偏导数的元组。因此，对于拉格朗日量 L，有
53 要使这一论证更加精确，需要仔细分析。 54 当我们编写一个命名局部元组各分量的定义时，我们通过用分号分隔各组来表明它们被分组为时间、位置和速度分量。 55 关于元组的导数是关于元组各分量的偏导数的元组（参见关于记法的附录）。 56 符号
只是一个助记符号； 上的点并不表示微分。为了定义 L，我们完全可以写成：L(a, b, c) = (1/2) m l2 c2 + m g l cos b。然而，我们使用带点的符号来提醒我们，匹配形式参数（如 ）的自变量是角度（如 ）的变化率。
57 在传统记号中，这些方程写作
